13.02.2008
Agustín García Calvo
Ateneo de Madrid
Tertu112-13-02-2008#Tertu112-13-02-2008.mp3
TRANSCRIPCIÓN:
...reflexiones en torno a eso de la verdad, de lo que se llama verdad. Tal vez habría que preguntarse a quién le importa eso, a quién le importa esto de la verdad; es una pregunta pertinente, pero me parece que es mejor dejarla para el final, si llegamos al final, porque antes tenemos mucha tela ya, cortada o por cortar, después de haber recorrido la cuestión como referente a cosas -a lo que en lenguajes más cultos se llama a la Realidad-, la verdad como referente a cosas, de haber visto, o más bien sentido, que cualquier cosa que se diga acerca de cosas no puede ser verdad, con el razonamiento que habéis seguido los que estábais conmigo en este par de sesiones últimas, y de haber pasado por ahí a otro terreno, que es el de los entes ideales, al menos los entes ideales del tipo de los geométricos, entes ideales que son ésos que existir no existen, no son cosas, no pertenecen a la Realidad, pero están interviniendo en ella costantemente, como hemos visto muchas veces y hoy volveremos otra vez a ver, de los cuales los entes geométricos tradicionales, los de la Geometría de Euclides, son un ejemplo, y por tanto la cuestión de la verdad y la demostración o prueba de los teoremas en ese tipo de lenguaje que es una Geometría al estilo de Euclides; y ahí más o menos yo creo que topábamos con esta evidencia de que, cuando tiene sentido ahí, a diferencia de lo que se hace con las cosas o en física, decir que un teorema, una afirmación, una proposición es verdadera, eso se hace en el sentido de la vuelta a los principios, es decir, el descubrimiento de que lo que en esa formulación se dice estaba de alguna manera en germen, ínsito, en los principios de que se partía, es decir, en las definiciones de tales entes ideales, y en los axiomas correspondientes de que se partía; era una verdad tautológica, por así decir, que no quitaba para que el razonamiento que descubre esa vuelta a los principios sea un razonamiento que no se hace hasta que se haga, es decir, que es tan creativo como pueda serlo cualquier otro en otras condiciones, y aunque lo que el razonamiento descubra venga a ser esa vuelta a los principios que daría verdad a tales hechos.
Ahí dejábamos la cosa, y nos tocaba venir a plantear la cuestión respecto a este otro tipo de entes ideales que son los números, unos entes ideales enteramente distintos de los geométricos, como creo que fácilmente se puede hacer ver ahora mismo, y no sólo distintos de esos otros entes ideales, sino costituyendo además un caso singular: no hay ninguna otra situación, ningún otro tipo de entes comparable con o que forme pareja con los números. Ya recordáis que aquí “números” se está diciendo en el sentido de los números elementales, los números enteros de la serie que van de uno en uno, que habíamos anotado que, cuando se introducen -por la ampliación de la noción, como suele decirse- se introducen como números otras cosas, como la raíz cuadrada de 2, o como el número Pi, que vienen de una entrada de la cuantificación en la geometría, lo que resulta es que, al mismo tiempo que estos entes adquieren una condición de número, porque así se les hace entrar en la serie, al mismo tiempo los números de verdad, los primitivos, no pueden menos que sufrir de esta intromisión, y ya no pueden ser tan de veras los simples números positivos y enteros que eran de los que partían, y que son los que aquí os propongo, desde luego, seguir sosteniendo como números propiamente dichos.
Antes de empezar con ello, primero que veáis cómo se trata de entes enteramente distintos. Que son entes ideales, es decir, que no existen, pero que están interviniendo costantemente en la existencia, en las cosas y las relaciones de las cosas, de la Realidad, eso creo que os aparece claro: 5, 75, 200 son entes ideales todos ellos, no existen, no tienen un significado como tienen las cosas, y sin embargo están interviniendo en la costitución y el cambio de la Realidad costantemente, ya que ni siquiera las cosas podrían ser tales cosas si no se las contara, si no fueran contables: la cuantificación es para las cosas una necesidad pareja y simultánea a la de la significación: sin ideas de la cosa no hay cosa, pero sin cómputo de las cosas tampoco hay cosa; en ese sentido la intervención de los números ideales, inexistentes, no cosas, en la Realidad, en cosas, es bien clarAGC- Que sean un tipo enteramente distinto de los entes del tipo geométrico creo que también es claro: los entes geométricos se establecen por definición, en esto se parecen a las cosas (las cosas también pretenden definirse, pretende definirse qué es un perro o qué es una rosa; en falso, fallando costantemente, pero los triángulos, las esferas o las elipses, o, más bien, el triángulo, la esfera, la elipse, se introducen por definición, aunque ésta, en cambio, es cerrada, perfecta, inalterable, dentro de este mundo ideal, el de los entes geométricos), pero -ya véis- los números no se establecen así, no se establecen por definición, no hay nadie en el mundo que pueda definir 5 (muchas veces nos hemos reído al pasar a propósito de lo que un diccionario de una lengua cualquiera tiene que hacer cuando se encuentra con estos ítems del vocabulario como son ‘5’: no puede hacer nada semejante a los intentos de definición de ‘burro’ o de ‘rosa’), de manera que es claro que no se establecen por definición: su única definición no es más que el estatuto que les hace ir uno tras otro según razón de 1, según razón de sucesión perfectamente determinada, y eso no es una definición en el sentido corriente de la palabrAGC- Así están establecidos y es con respecto a la verdad acerca de números de lo que nos toca tratar ahorAGC-
Bueno, una advertencia más que quizá convenga que nos hagamos: cuando, junto a los números propiamente dichos, se introducen las razones, es decir, la razón de 3 a 4, o la razón de 2 a 3, cuando las razones entre números se les convierte de razones -razones de relación, razones de relación de ‘3’ a ‘4’, razones de ‘2’ a ‘3’- en números quebrados y así se les introduce en la serie, de tal forma que la razón ‘2 a 3’ se haya convertido en un nuevo número que esté entre ‘1’ y ‘2’, por ejemplo, con eso lo que se está ya es, de alguna manera, enturbiando, pervirtiendo, la noción de número. Notad que eso les viene ya a los números de fuera, de la Geometría, que tiene por ejemplo que haberse vuelto dimensional, y con respecto al teorema de Pitágoras mismo, que el otro día usábamos, encontrar cuáles son las razones que puede haber entre 3, 4 y 5, los dos catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Fijáos bien: otra cosa es que se plantee una cuestión ya de números, partiendo de ahí: la cuestión de si esto que se da para 3, 4 y 5, es decir, que haya un número entero cuyo cuadrado sea la suma de los cuadrados de dos números enteros, si esto se repite más veces en la serie, si se repite infinitas veces, si hay infinitas cantidades de razones de ese tipo que se da entre 3, 4 y 5, eso ya es una cuestión de teoría de números, pero la entrada misma de la razón por su conversión en número eso es lo que de alguna manera nos desvía y enturbia con respecto a los que llamamos números positivos(¿), propiamente dichos, enteros, que son los de la serie.
Bueno, con estas advertencias yo creo que ya sabéis más o menos acerca de qué tipo de seres nos estamos planteando la cuestión de si lo que se diga de ellos es verdad o no, y si la cuestión de verdad aquí toma un cariz distinto que en las otras situaciones en las que la hemos visto. Yo creo que le voy a pedir a Caramés que, antes de seguir adelante, nos recuerde algún ejemplo de proposiciones -llámeselas conjeturas o, en algún caso, teoremas, incluso, demostrados- acerca de números. Pero no olvidéis que lo que estamos persiguiendo es, primero, pues lo que hemos visto en el campo C: los números no son cosas, les es de por sí inaplicable cualquier cálculo, cualquier forma de tratamiento, que sea la que se aplica a las cosas; segundo, con respecto a la comparación con los entes ideales geométricos, se trata de averiguar: ¿hay con respecto a las proposiciones acerca de números algo que posiblemente consista en eso que hemos llamado para la Geometría una vuelta a los principios, o, por el contrario, la prueba de cualquier proposición acerca de números está encomendada a la continuación interminable de la serie? Estas son las cuestiones en las que los tratamos. Y ahora, Caramés, te pido eso: recuérdanos un par de ejemplos de proposiciones acerca de números, y lo que se te ocurra por tu parte acerca de lo que pasa con ellos.
Caramés: Bueno, voy a tomar quizá un ejemplo fácil con el que podéis jugar, que es el que consiste en una proposición acerca de los números que se supone -para plantear el problema de verdad- que es verdad, que han verificado con ordenadores y demás aparatajes que es verdad para números menores que 2 por 10-elevado-a-17, o sea una cantidad propiamente inimaginable, y que cualquiera puede jugar con ella; de hecho, matemáticos serios se pasaron épocas jugando con eso y no son capaces de probar esta formulación (esto se llama la conjetura de Siracusa porque los matemáticos de esa universidad se pasaron meses dándole vueltas): se trata de coger un número cualquiera (por lo tanto estamos metidos en este problema que entre matemáticos produjo tanta discusión y que en la tertulia se trató, que fue la cuestión del fundamento lógico de los números, si la lógica da cuenta del número; estamos en la serie), “cualquier número”, y hacemos lo siguiente (podéis jugar con ello, que es fácil): cogemos un número; si es par, lo dividimos por 2; si sigue siendo par, lo dividimos por 2, hasta que se vuelva impar; cuando se vuelva impar, se le coge y se le multiplica por 3 y se le suma 1. De alguna manera chocan ahí dos actividades: una, de hacerlo más pequeño, hasta que llega a impar, y, cuando llega a impar, lo hacemos un poco mayor; entonces la conjetura es que por este procedimiento cualquier número consigue llegar al 1, conseguimos que se haga 1. Por ejemplo, con 5: como es impar, no divido por 2, sino que empiezo con la ley de 3x+1: 3 por 5 +1 es 16 ¿no?, y ahora ya, 16, 8, 4, 2 y 1: el 5 llega al 1 a una velocidad enorme. En cambio con 7 no me voy a poner a hacerlo porque, como dicen, tiene (los matemáticos, ya se sabe, han adoptado la jerga de la aviación) un tiempo de duración de vuelo largo, de manera que no sé si hay que dar 11 ó 12 pasos hasta llegar al 1. Así que el teorema está probadísimo. Pensaban que era fácil. El procedimiento más elemental es hacerlo por inducción: es el método ese famoso de que si se demuestra que una proposición matemática es verdad en el primer momento, en el caso 1, y después se hace hipotéticamente “suponemos que es verdad en ‘n’”, y de esta suposición deducimos que es verdad en ‘n+1’, por la inducción matemática es verdad para todos los números.
Aquí no se consigue esto; porque como el vuelo de los números éstos por la aplicación de 3x+1 a veces aumenta tanto, no conseguimos reducirlo al ‘n’ donde se supuso que era verdad, porque hay que probar para ‘n+1’. Este es el primer juego de la Conjetura de Siracusa o de Collatz, que es el matemático que formuló por primera vez esta forma de tratar los números de la serie.
Bueno, esto es muy fácil -eh?
AGC- Vamos a comprobar que se ha seguido bien. Es muy fácil, efectivamente: empezáis..., cogéis un número cualquiera y procedéis: si es par lo dividís por 2, si es impar, lo multiplicáis por 3 y le sumáis 1; y daréis más o menos vueltas, tardaréis más o menos, pero volveréis a caer en 1. Si caéis en 1, se acabó; porque si a 1 le volvéis a aplicar la prueba y queréis seguir, os encontraréis con que 1, que es impar, según la regla sería: 1 por 3 es 3, mas 1, 4, y como 4, que es par, el 4 dividido por 2 es 2 y el 2 a su vez, que es par, dividido por 2 es 1,
C- Sí: eso es lo que se llama un ciclo.
AGC- ...se acabó: habéis caído en el círculo; pero ya veis que se llega al 1..... algunos... he leído que el ordenador llega a 10 elevado a 58, pero da más o menos lo mismo.
C- Yo no sé si es a 2 elevado a 58, que va a ser equivalente a 10 elevado a 17, o no. No me acuerdo; pero vamos: una cosa por el estilo
AGC- Los ordenadores están ocupándose de esto mucho. Podéis imaginaros lo que hace falta, por velocidad que le pongas a un computador, para llegar a comprobar que esto se verifica hasta llegar a alrededor de 10 elevado a 58, que es un número cuyos ceros en este momento sería dificilísimo contar….. Esa es la cuestión. No sé si tenéis alguna duda al respecto de cómo es esto.
C- Bueno, sobre esta conjetura, por supuesto, se desarrollan otras, inmediatas,...... que es hacer lo mismo, pero, en lugar de los impares multiplicarlos por 3+1, multiplicar por 5+1; o sea, que es el mismo juego, pero, en vez de la razón multiplicativa de 3, es la de 5. Es mucho más lioso. Por supuesto, la conjetura no funciona: no llegamos al 1; es facilísimo comprobar que no llegamos: no sé si es el 8... no: el 7: con el 7 ya no dAGC- Bueno, aquí se plantean problemas como si hay algún número que fabrica un vuelo de duración “infinito”, como hay sospechas mucho más claras que en el caso del 3 de que pueda haber un vuelo de duración infinito; o sea, que se pueda hacer eso y que va aumentando aumentando y no alcanza una altura máxima que baje. Sobre ese tipo de problemas ha habido ya alguna demostración apoyándose en la teoría de conjuntos -es un poco lioso- que demuestra que hay problemas de éstos que son “indecidibles”; o sea, que, por lo que se maneja en la axiomática, en lo que fundamentaría hoy día la Aritmética, la matemática ésta numérica, o sea, la teoría de conjuntos, es indecidible: no hay ninguna posibilidad de demostrar que sea verdad o que no. Yo creo que también puede ser pertinente.
AGC- Es pertinente a la cuestión. Pues ya véis: en principio, salvo esto que Caramés acaba de citar, la prueba está en manos del computador; es decir, es una prueba que si se pretende esclusivamente inductiva, la inducción le lleva a no terminar nuncAGC-
C- No hace falta por supuesto pensar que la prueba está en manos de la máquinAGC- De hecho, la confianza que hay de que hay un número altísimo altísimo que falla, que podía ser donde la inducción de la máquina funcionara, no hay ninguna: se piensa que va a ser verdad eso. O sea, que como la máquina no puede comprobar todos los casos del vuelo de cada número, porque es imposible, entonces aspiran a hacer una demostración. De hecho, hay gente que ha propuesto demostraciones, que los demás no se las creen todavía y están pidiendo la aclaración, porque una de las discusiones que se traen es si una demostración es válida o no.
AGC- Esto es -antes de que te pida un poco más- la cuestión: la doble posibilidad. O, para este tipo de verdades referentes a números, cabe, al estilo de las de los seres obtenidos por definición, una prueba o demostración, que tendría que ser en ese caso una demostración que demostrara que se vuelve a los principios, es decir, que la proposición en cuestión estaba ya ínsita en la costitución misma de la serie y la razón de 1 -no veo que pudiera la demostración ser demostración si no es viniendo a eso-, o si por el contrario estas verdades quedan abandonadas a la continuación interminable, a una comprobación que nunca se termina, de manera que sería una verdad que se averiguaría en el futuro más lejano, como en la escuela nos decían que las líneas paralelas se juntaban en el Infinito; una cosa más o menos parecida: remitiéndolo a lo que nunca puede llegar a darse en la Realidad.
Esto es así, y supongo que habrá cuestiones ya que os vengan respecto a esto; o si quieres, si te parece, Caramés, añade un poco más; insiste un poco más en esto de las demostraciones, incluso la de casos tan ilustres como la conjetura ya convertida en teorema de Fermat, el último teorema de Fermat.
C- Sí: esto plantea una cosa que no ha salido -por lo menos directamente- que es las demostraciones por reducción al absurdo. Es decir, que una demostración por reducción al absurdo es llegar a demostrar que si suponemos que se cumple una proposición, se demuestra que entra en contradicción por ejemplo con el hecho de que un número par no puede ser igual a un número impar (esta contradicción elemental: el 2 no es 3), y si hay una proposición que suponer verdad en ella arrastra a que hay que ir al problema inicial de la contradicción entre par e impar, que nos llevaría a que el par tiene que ser impar, no podemos suponer la verdad de esa proposición.
AGC- Y también la negativa, para demostrar la verdad de una proposición: si no fuera verdad, si este enunciado que pronuncio no fuera verdad, se llegaría a una situación en que igualmente se diera contradicción con principios de la serie de los números, como la diferencia entre par e impar.
C- Si queréis cuento lo del famoso teorema último de Fermat, que es una cosa de actualidad (que hace como 12 o 13 años ha sido aceptada una demostración, demasiado complicada, porque después estas demostraciones son tan difíciles y largas que poca gente es capaz de seguirlas y leerlas, de manera que encontrar un fallo en la demostración plantea algunos problemas; no es como una demostración de la irracionalidad de raíz de 2 o demás, que cualquiera la lee y la entiende); pero vamos: este último teorema de Fermat, que se asocia la demostración a este matemático inglés, Wiles, pues dice lo siguiente: con números enteros, escluyendo los llamados triviales, que serían juegos de 1, 0 y 1 (porque con el 1, el 0 y el 1 monto las relaciones que ahora voy a contar: las relaciones son: un número al cuadrado mas otro número al cuadrado es un número al cuadrado, enteros; y eso es verdad: el teorema de Pitágoras está ahí y las ternas pitagóricas de que habló antes Agustín: ahí hay infinitas y están descritas mediante números que en matemáticas se presentan paramétricamente y tal. Entonces ¿qué pasa si jugamos con cubos?: 1 al cubo mas 0 al cubo es igual a 1 al cubo: trivial; uno a la cuatro mas cero a la cuatro, uno a la cuatro; así que con 0, 1 y 1 monto todas las relaciones), escluyendo estos números que se llaman los casos triviales, no hay nunca tres números enteros de tal manera que la suma de los cubos de dos dé un cubo tercero (un número al cubo mas un número al cubo es igual a un número al cubo). Esto, por supuesto, lo demostraron en el siglo dieciocho -creo que fue Euler el que dio una demostración bien hecha-, y después inmediatamente se vio: ¿qué pasa con la potencia quinta? (porque lo que se ve enseguida es que los números compuestos se reducen a los casos de los números primos, que las potencias en que aparezca un número compuesto, por ejemplo un número a la 6, van a implicar ese número al cubo: 7 a la sexta es lo mismo que 7 al cuadrado y elevado al cubo; de manera que el problema de los cubos está dentro de la potencia 6; así que el problema va a ser siempre con lo que se llama los exponentes primos) Y esto estaba sin demostrar, el teorema de Fermat...
AGC- que para cualquier esponente que sea un número primo valía lo que estaba demostrado para lo del cubo: que no puede haber tres números...
C- no hay “pares” con potencias que no sean del cuadrado; o sea, que el teorema de Pitágoras con números enteros, ése está bien; pero si queremos generalizar y pasar a una serie, “igual que está al cuadrado, al cubo; igual que está al cuadrado, está a la cuarta; igual que está al cuadrado, está a la quinta”, no puede ser: no hay solución para ellos. Esto estaba sin demostrar, y se nos da una demostración que parece que está bien (ya hacía bastante tiempo que estaban encontrando demostraciones que cada vez más hacían ver que no podía ser; o sea, ya los esponentes cada vez eran más altos: cada vez se veía, por ejemplo, que no era verdad por ejemplo para los primos menores que 10 elevado a 7, o lo que fuera; había especulaciones sobre esto); y la demostración se hizo por reducción al absurdo. Ahora, el absurdo se logró suponiendo que si una tríada de números verifica que la suma de las potencias p-ésimas de los dos primeros números es igual a la potencia p-ésima del tercero- p es un número primo mayor que 2-, se fabricarían una curvas que tendrían propiedades imposibles. Así se tiene la reducción al absurdo, ya que hay una proposición matemática ya demostrada relativa a ciertas formas de curvas, y esa proposición matemática sería contradictoria con suponer que es verdad que hay tríadas de números enteros con esponentes mayores que 2 que verifican la relación de Fermat: esa suposición va en contra de un teorema sobre curvas elípticas, ya demostrado, y por lo tanto no puede ser.
AGC- ...ya véis que implica, como Caramés ha dicho, una vuelta a los principios, pero a los principios más bien geométricos que a los principios de la propia serie de los números, lo cual ya, como antes os dije respecto a las propias razones, enturbia un poco el problemAGC- Pero, bueno, yo creo que ya véis... No sé; tal vez habría que añadir, para cerrar y dejaros correr la palabra enseguida, que de ordinario la tentación de tratar a los números de la serie como cosas es invasora: es muy difícil resistirse a la tentación de tratarlos como cosas, como se ve sobre todo en el caso de los primos: a la caza de los primos: cuando uno ve que va tirando adelante por la serie y los primos se le van apareciendo, sí, menos cada vez, pero en proporciones incalculables y no sabiendo mucho en qué lugar, y los primos gemelos también van apareciendo, pero de unas maneras que uno no puede calcular, uno tiende a tratar eso como se trata la aparición de las nuevas galaxias en un telescopio, o sea, como si fueran cosas: es una tentación de lo más humano, por así decirlo - si es que tiene aquí algún sentido-; y el resultado es, naturalmente, algo que afecta a lo del cálculo de probabilidades, la forma de cálculo más avanzada (para la Física, para la Mecánica Cuántica), que evidentemente acaba por aplicarse a los primos, a las diferentes conjeturas acerca de primos, que evidentemente son eso: un cálculo de probabilidades; es normal, porque las probabilidades son el último caso de perturbación de la noción de número, de los números primitivos de la serie, por la necesidad de dar cuenta de las cosas, a las cuales nunca los números primitivos, enteros, se pueden aplicar de una manera perfectAGC-
Bueno, esto os quería recordar también, y como me temo que algunos estarán deseando hablar y... voy a cortar. Bueno, tenéis el ejemplo de que hay entre nuestros propios congéneres -por más que para mí esto de los congéneres, de los participantes en la mentira del hombre, sea una recomendación muy del revés- pero hay muchos de nuestros congéneres, matemáticos, computadores, técnicos de ordenadores, que están persiguiendo la verdad en este terreno de los entes ideales, de los números y sus derivados, y la están persiguiendo ferozmente. De manera que ahora es cuando viene tal vez oportuno lo que al principio os decía, que es preguntarnos a quién le importa todo esto, a quién le importa la cuestión de verdad, que todos estos días nos hemos dedicado a atacar de las maneras que podíamos, de las maneras que nos era dado. De manera que, respecto a cualquier cosa de las que hemos venido tratando, de las oídas hoy y de esta pregunta, pues os dejo ya correr la palabra, y adelante: que salga lo que sea! Sí:
-Cuando se intenta hacer demostraciones de este tipo, como las que ha descrito Caramés, parece que no sólo se juega con entes ideales de éstos vacíos de definición como los números, sino también con conceptos ideales pero definidos como ‘número’, ‘primo’, ‘par’, ‘impar’, ‘cuadrado’, y entonces... son dos cosas distintas.
AGC- Bueno, son tres más bien: por un lado efectivamente está la clasificación de los números..... que es algo que se impone, que está dado de por sí en la serie, y que no hay más que descubrir: uno descubre que en la serie se van dando potencias, se van dando resultados de productos, se van dando otros que no, los llamados primos, y, bueno: esa clasificación viene más bien por ahí. Otra cosa es la noción misma de número: ésa no es que esté ahí; es saltar a otro plano de astracción, y es justamente respecto a eso respecto a lo que estamos hablando de que la noción se enturbia o se desvíAGC- ¿Qué más? Sí:
-Es respecto a lo que se llama entes ideales, los triángulos...: ¿qué pasa cuando a la Geometría se la considera desde otro punto de vista, es decir, no como... Es que me cuesta un poco entenderlo como tal, porque yo lo tiendo a pensar como un sistema relacional, un sistema casi metafórico; o sea, yo considero la Geometría como la metáfora de una relación, que es una metáfora visual además; es decir, que es un punto de vista que me cambia totalmente la naturaleza de lo que se ve y de cómo se ve, de cómo se percibe. Entonces ahí ya empiezan a entrar en contacto, a interferir, como otros sistemas de conocimiento, otros sistemas, no de cuantificación del mundo, de entender el mundo, en el cual ya esa pureza de que se habla a mí ya no me lo parece: ya es un poco más impuro, ya entra pues -no sé- la Lingüística, entran otro tipo de cosas
AGC-Bueno, lo que has dicho yo creo que es... la metáfora esa de los tres puntos que puedes visualizar(¿) es la Geometría,
- Es un sistema visual
AGC-que la llames metáfora no añade nada nuevo: ésa es la Geometría y esos son los entes que llamamos ideales y que separamos de las cosas. Luego tú hablas, como estamos hablando aquí costantemente, de la confusión de este campo de los entes ideales, o también del campo de los números, con las cosas, con el establecimiento(¿) de las cosas. Yo he hablado al pasar también de cómo la propia dimensionalidad al entrar en la Geometría efectivamente la hace cambiar de ser la pura visualización de la formAGC- Tal vez tiendes a emplear todavía términos un poco así
-Es que el otro día andábamos diciendo que el triángulo no existe, que lo que es la figura del triángulo no existe; y yo creo que sí que existe.
AGC-Bueno -por favor- es que seguramente no nos has acompañado mucho aquí: existir quiere decir lo mismo que Realidad y lo mismo que cosas, existir es un verbo que se inventó para Dios, que ha penetrado en las capas de las poblaciones durante estos siglos y que trata de atribuírse a cosas, y efectivamente lo aceptamos así, como se ha introducido: las cosas existen en cuanto que están costituídas por una idea de la cosa y una cuantificación -eso es existir-, y evidentemente los entes ideales no existen; mientras que intervienen continuamente, como hemos mostrado con los entes de tipo geométrico y con los números: intervienen costantemente en la costitución de las cosas, de la Realidad. Hay que acostumbrarse un poco a librarse de los usos habituales del lenguaje culto, que son muy perversos. A ver: ¿qué más por ahí?
-Yo quería preguntar si la Realidad... para que una cosa, como tú mismo has dicho antes, hace un rato, y has sostenido otras veces, de que para que una cosa sea real hay que contarla, es decir, para que una cosa exista hay que... no solamente contarla, también ordenarla -“primero, segundo, tercero, cuarto”- las veces que aparece tal cosa, si no no serían reales tales cosas... Quiero decir que hay una implicación tan grande entre la costitución de la Realidad y el hecho mismo de los números, que de alguna manera, aunque no existan y rijan la Realidad, están tan imbricados, que se podía decir que son reales.
AGC-Están continuamente interviniendo...
-y no digo cuando los quintos, los soldados.
AGC-... interviniendo, pero haces bien en sacar eso porque hay que hacer una distinción que otras veces hemos hecho: la costitución de las cosas, de los entes reales, efectivamente necesita el significado o idea, el significado de la palabra en un idioma cualquiera de la Realidad, y por otro lado la cuantificación; pero la cuantificación no son todavía los números: para cuantificación basta con decir “muchos”, “pocos”, “unos cuantos”, “más” -pasando a los contrastivos-, “más aquí que allá”, “menos aquí que allá”, “menos alto”, “más bajo”: todos ésos todavía no son números -¿no?- y son cuantificaciones que ya están costituyendo Realidad. Pero la aspiración final es a que estén costituídas todas las cosas, cada una de ellas, de una manera perfecta, acabada; y eso ya es una cuantificación que sólo pueden proporcionar los números. Que estos ideales son, en nuestros descubrimientos, inalcanzables....... ni cada cosa -cada uno de nosotros incluído- es la que es, es del todo la que es, por tanto al tiempo no es la que es, como se percibe fácilmente, de manera que esta falsificación -aspiración a la totalidad y a la unidad y aproximatividad, probabilidad aproximativa, de más o menos, nunca del todo-, esta contradicción es costitutiva de las cosas y de nosotros.
-Pero ¿en el rudimento más primigenio de los números no está las veces o la marca que uno hace cada vez que sucede una cosa, por ejemplo cada vez que un primitivo mata a un animal y hace la raya en la pared de una cueva? ¿No está ahí ya una costitución de la realidad, que no da un salto luego cualitativo, sino que pasa a otra cosa pero es lo mismo?
AGC-Sí: está ahí, pero estaba ya mucho antes. Tú te pones en una situación muy parroquial y doméstica o patriótica que es la de los entes humanos y nuestros pobrecillos primitivos, trazando sus primeras rayas, que está muy bien acordarse de ellos de vez en cuando, pero eso no es más que un caso de cosas, y hay que dejarlo incluírse en las cosas en general, en las cuales está ya la aspiración a la costitución numérica, ideal, inalcanzable, pero que como aspiración está ahí siempre. Efectivamente, cuando nuestros pobrecillos antecesores hace unos diez mil años inventan la escritura, lo primero que inventan seguramente, me parece a mí, son los palotes para escribir los números, para escribir esa parte de la lengua que son los números; nada más: antes estaban los números.
-Pero ¿en lo anterior, en los protonúmeros ésos que llamas tú...
AGC- Antes estaban los números.
-... de los ruidos de las olas del mar y del caballo? ¿Esos? ¿No tiene que ver eso...?
AGC- Ahora volveremos sobre eso, pero quería recoger antes alguna voz más. Sí:
-Esa costatación de o esa necesidad -si lo he entendido bien- de una demostración numérica que tienen y sienten las cosas parece que se siente en los juegos que nos ha contado Luis, en el sentido de que -vamos a ver si compartes la impresión que he tenido yo- una cosa es disparar la serie de los números para contar entidades (como “un cordero, dos corderos, tres corderos...”), y parece que en los juegos que nos ha contado Luis lo que pasa es que los números ya están dados todos ellos, y que a partir de ahí lo que se establecen son relaciones entre ellos -¿no? En ese sentido me parece que es más...
AGC-No está así muy bien dicho, no; pero algo, algo de eso tiene su razón.
-es eso: que me parece que los juegos que ha contado eran más de la necesidad de los números de contarse a sí mismos, en lugar de que los números sirvan para contar cosas.
AGC-Ahora mismo nos hemos estado refiriendo antes a esa situación en que la cuestión de verdad deja de referirse a cosas como en principio y se refiere más bien a los fundamentos. Efectivamente: los que me acompañáis desde hace ya meses, por lo menos: ¿cómo son las cosas? Son costantemente más y más, porque están costantemente de lo desconocido entrando a existir, entrando a la existencia más y más cosas, con lo cual no pueden menos de ser cambiantes, cada entrada de nuevas cosas está cambiando el significado de las que ya había, está produciendo alteraciones en ellas, y ésa es la situación. Lo cual quiere decir que ni pueden ser nunca todas (“las cosas no son todas”), ni, por tanto, una puede ser de verdad unAGC- Supongo que esto es lo que conmigo habéis ido estos meses descubriendo. Ah, pero la aspiración ideal está ahí: desde arriba recae sobre todo esto la aspiración ideal a ser todas: a ser todas -imposible- y a que cada una sea una -imposible-, pero como imposición de un ideal aparece desde el principio, en la raíz; y luego al descubrirse esa misma, pues, como mil veces hemos visto en el campo de nuestra política, en el campo de las diferentes ciencias, en el campo de la educación, de las creencias acerca de los niños, de las creencias religiosas, se ve cómo está costantemente imponiéndose un ideal de totalidad, que es mortífero, según un montón de veces hemos visto: es justamente el acarreador de la muerte, un ideal de totalidad.
Pues bien, los números, propiamente dichos, serán sin fin, serán interminables, pero no de la misma manera; porque lo que he descrito es una condición de las cosas: están hechas de significados; los números no tienen significado; están teniendo que ser más y más continuamente, por eso no pueden ser todas; los números no: los números, efectivamente, como el ideal dice, tienen que estar en una serie interminable porque tienen que estar dispuestos siempre para contar más y más cosas que se produzcan: no pueden abandonar; no pueden abandonar la misión inicial, y eso les obliga a que, efectivamente, -no se ha dejado en ningún caso de contar- sean interminables, pero es importante que se vea que es de una manera distintAGC- Desde luego, si los números no estuvieran imponiéndose sobre la Realidad como ideas, no padecerían esta obligación de estar en una serie interminable como están. A ver: algo más.
-Entonces, la aspiración a la totalidad de la Democracia, de pasar el todo por la mayoría o la mayoría por el todo, sería su fundamental falsedad, la idealización ésa del paso al límite.
AGC-No: la Democracia lo que hace ahí es la trampa de equiparar mayoría con todo. Entonces, evidentemente la noción de ‘todo’ está ahí, y desde luego, correspondientemente, está fundada en la mentira de que uno es uno,
-y que muchos son todos.
AGC- y que por tanto sabe adónde va, qué quiere y todo lo demás. Pero ya hemos recordado para ejemplo las formas más primitivas, totalitarias y absolutas, como la del régimen de los nacis, donde esa totalidad trata de imponerse más directamente: no sólo porque se diga “Deutschland über alles”, sino porque “hay que matar a todos los judíos”, y por tanto, ahí se cree que los judíos son todos; ahí se impone de una manera mucho más directAGC- Pero en cualquier otra forma del Régimen, por supuesto, desde los más primitivos que imaginemos, está este imperio mortífero de la totalidad, y por tanto de la unidad. Había ahí...
- Sí, que con respecto a las cosas, cualquier componente, sobre todo eléctrico y electrónico, viene marcado por números (sí: los números de su potencia o la resistencia o la tensión), y luego lo compruebas y no es, porque entre otras cosas no hay tampoco ningún aparato exacto; pero incluso dentro de esa cuestión de la exactitud y la medida, pues también hay otros rangos, que es lo que tú necesitas y las posibilidades de error que puedes cometer. Entonces tienes que... no te entienden si tú les dices: una resistencia o cualquier aparato; no: tienes que decirles todos los datos numéricos. Y esos datos numéricos no son verdad tampoco: no corresponden a lo que tú necesitas. Pero es que toda la electrónica.
AGC-Siempre es bueno recordar que entre las cosas, incluso las más numéricamente costituídas, como ésas a las que Chema se refiere, también fallan, porque no puede ser: porque no puede haber máquinas perfectas, lo cual no les impide aspirar a serlo: ésa es la cuestión. Como Chema ha dicho, luego resulta que para la práctica, para el uso, hay que avenirse a que a las máquinas les pase más o menos lo que a las cosas, que hay que ajustarse a márgenes aproximativos, suficientes; pero la pretensión está ahí, en esos números, y, como él dice, no son verdad.
-La aspiración ésa de las cosas mismas a estar contadas, o bien contadas, ¿es independiente de que se las cuente? Porque, al querer quitar a los hombres, parece que las cosas podrían estar contadas como de por sí; que podría haber 5 ovejas sin que se dijera “Hay 5 ovejas”.
A-Sí. Eso, empezando al revés, por los números, podría decirse así: “¿es que están ahí los números de la serie interminable?, ¿es que están ahí?, o es...
-No: no digo los números.
AGC- Empezando por los números -para volver después a lo que dices-: ¿Es que están ahí?, ¿o es que van surgiendo a medida que se progresa en la serie? Bueno, yo creo que eso nos permite volver sobre las cosas a partir de ello: ..... la aspiración es costitutiva; pero la aspiración obliga a un constante cumplimiento de hecho..... volviendo a ..... que evidentemente es un salto..... un poco a las cosas. Eso lo percibís, en las leyes, en la política, en cualquier cosa: efectivamente uno sabe que la ley está en la raíz, que la condena es desde que uno cualquiera entra en este mundo; pero eso no quita de que cada día salga el Boletín Oficial, cada día salga el Informativo por la Televisión, cada día estén confirmando esa idealización a la que te tienen sometido: lo uno va con lo otro.
-O sea: que las -por ejemplo- cinco ovejas serían cinco ovejas, pero se confirma cuando se cuentan, cuando se las cuenta hasta cinco.
AGC-Sí, si quieres decirlo así...
-No me parece que esté nada bien dicho así. O por ejemplo...
AGC-No: no puedes decir que antes de la confirmación son cinco ovejas: eso es evidentemente un esceso. No puedes decir eso; puedes decir que ‘cinco’, igual que los otros..... están ya previstos, están ya en los ......, pueden caer sobre cualquier sitio, y que entonces pueden caer sobre ovejas...
-Pero entonces no es que las cosas... Pero las ovejas qué iban a querer; a las ovejas les cae.
AGC-En realidad, son ovejas cuando están contadas o cuando se dejan contar o cuando se las puede contar; en realidad: verdad es otra cosAGC- Decir que antes ya eran cinco es un poco estralimitarse; lo que antes está ahí es la aspiración general a la idealidad, la presencia de la presión del ideal en general. No sé si está lo bastante claro; si no, ya se seguirá aclarando. ¿Qué más? Sí:
-En este punto vuelvo a acudir al día anterior: creo que no tengo claro la diferencia entre ente ideal y palabra con significado. Esplícamela.
AGC-Sí: evidentemente, las ideas son ya de alguna manera entes ideales, pero entes ideales de baja estofa.
-Esa diferencia de la estofa ¿dónde estaría?: ¿en la incompletitud de la definición, en la...? ¿Dónde estaría la diferencia?
AGC-No: en que -vamos a decirlo metafóricamente por pisos- están más abajo, están más inmediamente ligadas a la costrucción de las cosas, mientras que luego, sobre eso, hay entes ideales que tratan de aumentar, ratificar la perfección, la perfección de las ideas aplicadas. Están en pisos distintos. ¿Qué más?
-Yo creo que esta cuestión de la verdad en los números, de la verdad en Geometría, hay que quizá darle vueltas -¿no?: por una parte, en la medida en que se nos impone -digamos- la idea de que la serie esté ahí, que la serie está ahí; pero está de una manera por supuesto muy especial -si es que seguimos aceptando que puedo pensar que esté ahí-, porque se prevee que hay lugar para los sucesivos números, pero después cada uno de los números parece que él aspira a ser conocido mediante determinaciones. Por ejemplo: éste siguiente ¿será primo o no será primo? Y efectivamente formulaciones de ésas son las que los matemáticos se encuentran con la dificultad de manejarlas: no hay manera de asegurar verdad sobre esa especie de sucesividad que impone la serie. Ahí hay una evidencia -¿no? Frente a la aspiración de objetos digamos geométricos, que no estén muy condenados a la Aritmética, que es donde el planteamiento se hace claramente sobre el propio objeto, a ver si él mismo podemos decir que él responde a esta propiedad “Verdad” o no. En ese sentido yo creo que habría que darle alguna vuelta más.
AGC- Sí: habrá que darle vueltas sin duda, a eso y a más cosas. Ah, de todas formas, las propiedades que traen esa clasificación (pares/impares, primos/no primos, potencias, productos, etC-) son propiedades que evidentemente pertenecen a los números en cuanto que están ya implícitos en la condición de número, de números enteros; pero, claro, evidentemente los problemas y las proposiciones se plantean respecto a la aplicación de esas propiedades y al descubrimiento a lo largo de la serie de números que tengan esas propiedades buscadas; evidentemente eso es una situación especial. Tal vez para ello aclare un poco volver, como antes había pensado, (que me temo que será ya lo último de que podamos hablar un rato) sobre esas formas de la cuantificación que muchas veces nos han salido aquí como prenuméricas, y de las cuales encontrábamos, encontramos los ejemplos más impresionantes en los ritmos y también en la escala de tonos (en los hechos auditivos). Es decir, que la condición de las cosas parece que propiamente es, primero, la discontinuidad. Una cosa hay evidente: la Realidad, las cosas, no pueden menos de ser cosas, por tanto, separadas unas de otras, discontínuas; y cualquier pretensión de continuidad dentro de la Realidad, que alguna vez han salido aquí, ya hemos tratado de desmontarla de la mejor manera posible: la continuidad no entra en la Realidad; la continuidad es como el sin fin: evidentemente lo hay, lo sinfín, lo contínuo, pero fuera, fuera de la Realidad: la Realidad, las cosas, es necesariamente discontínuAGC- Esa discontinuidad parece que, antes de recibir la imposición propiamente de los números, impone esas formas de ordenación de la discontinuidad a la que pertenecen entre otras cosas la ordenación rítmica de los sucesos, en la danza, en el habla, y la ordenación de los tonos, la escala, de una manera más complicada (la escala o las escalas); porque ahí evidentemente se puede decir que no hay números todavía, pero sí una tendencia a la reducción a números: recitando, danzando, se puede hacer “tatatátatatátatatátatatátatatá” con la pretensión de que cada 3 vuelvan esactamente a la vez; o “tatátatátatátatátatátatá” con la pretensión de que cada 2 o cada 4 vuelvan esactamente. Se sabe que no se cumple, que esto no es numérico, pero está ahí..…; y de la misma manera en la ordenación de tonos, de manera que es como si… (bueno, de la misma manera pero más complicada en la ordenación de tonos: se intenta que la separación que ya la teoría musical ha llamado de terceras o de quintas sea igualmente exacta; tampoco lo es nunca: nunca puede llegar el afinamiento a tanto como para que se pueda producir una tercera perfecta, una quinta perfecta; pero la pretensión está ahí. ..…tiene dificultades la cuestión histórica en las diferentes escalas: citando una cualquiera de las que se han adoptado) pero es como si dijéramos que en ese trance es cuando se está imponiendo, todavía por tanteos, la ordenación numérica, es decir, perfecta, de las cosas; se está imponiendo la idealidad, del todo, del uno, y por tanto de los números. En ese sentido van las cosas: es más primitivo que nada la lucha contra la continuidad, contra el sin fin, porque eso es perderse, está contra la costitución de las cosas: eso es lo elemental. Esto que son las cosas y que nosotros entre ellas somos, está hecho justamente de esta defensa de perderse en lo sin fin o en la continuidad, esta necesidad de establecer y restablecer los límites y la ordenación lo más perfecta posible.
Esto tal vez nos puede llevar a volver con ventaja sobre la cuestión de la verdad en general. Eso es verdad: lo sin fin; quiero decir: justamente lo que no se sabe, lo que no sabemos, lo no sabido: eso es verdad. Verdad es, aparte de todas las otras proposiciones que respecto a unos u otros tipos hayamos hecho, verdad es lo sin fin, verdad es lo continuo, verdad es lo desconocido, lo no sabido. ¿Quién es capaz de negar, si no es a conciencia de que se está poniendo una coraza, a la fuerza, quién es capaz de negarse a esto, mas que a conciencia de que se está defendiendo -como es casi inevitable-, de que se está poniendo una coraza? Verdad es eso: verdad es lo desconocido. Esto naturalmente, claro, implica como véis esta inversa de que lo que se sabe no es verdad (lo uno va con lo otro); cualquier cosa que se sepa no es verdad; cualquier cosa que sea sabida, cualquier cosa sabida, no es verdad. Lo que se sabe no es verdad. Y- yo añadiría- ésta es la única proposición de la que podemos tener una certidumbre completa: lo que se sabe no es verdad: ésa es la negación que cabe(¿). Bueno, ya le hemos dado muchas vueltas por hoy, y tal vez es la hora de dejarlo, pero si os ha quedado alguna cosa pendiente... Bueno, pues entonces cortamos y, si el Señor del Todo y la Nada nos deja seguir, pues seguiremos dándole vueltas.
